【和田先生のなるほどゼミナール16】わたしたちの宇宙のみじめな最期5

次元解析

和田先生

公式はこのようにいろいろな本が出ていますので，これらを参考にすればいいのですが，公式を知らなくても，もしくは忘れてしまっても，簡単なものなら「次元解析」で導くことができます．

こっしー君

前回の宿題，

問題：
公式を忘れてしまい，公式集もないとき，私はある方法を使います．
その方法とは何でしょうか？

の答えは「次元解析」ですね．

和田先生

そのとおりです．

こっしー君

例を出していただけますか？

和田先生

例えば，下の図のように，質量 $m$ ${\rm [kg]}$ の物体に，ばね定数 $k$ ${\rm [N/m]}$ の振動系の振動周期を求めてみます．
例によって，「大体」でやります．

和田先生

与えられた物理量，質量 $m$ ${\rm [kg]}$ とばね定数 $k$ ${\rm [N/m]}$ ，に注目すると，ばね定数 $k$ の次元は，

$[{\rm N}/{\rm m}] = [{\rm kg m s^{-2}} / {\rm m}] =[ {\rm kg s^{-2}}]^{}$ [MT $^{-2}$ ]

なので，振動周期という次元 [ T ]の物理量を見つけるために， $m$ と $k$ から， $[{\rm kg}]$ の次元である[M]を消してやればいいので，

$\frac{m}{k}:$ $\left[ \frac{{\rm kg}}{{\rm kg}\cdot {\rm s^{-2}}}\right] =[{\rm s^{2}}}] :$ [ T $^{2}$ ]

となりますので，振動周期 $T$ $[{\rm s}]$ は，

$T \sim \sqrt{\frac{m}{k}}$ $[{\rm s] :}$ [ T ]

となります．正確には，

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ $[{\rm s}] :$ [ T ]

です．
これを数学的に正確に解くには，2階定数係数斉次線形常微分方程式を解く必要があります．
詳しくは，【和田先生のなるほどゼミナール2】振動現象をつむぐ，中学校の数学2以降を参照してください．

ところで，物理定数を単位に組み込みますと，先ほど挙げました7つの基本単位の内の2つで表せます．

こっしー君

えっ？！　本当ですか？

和田先生

やってみましょう．
まずは，電流 $[{\rm A}]$ です．
電気素量 $e$ ≒ $1.6$ $\times$ $10^{-19}$ ${\rm A s}$ を用いますと，

$[{\rm A}]\sim [e$ ${\rm s}^{-1}]$

$1$ ${\rm A}$ ≒ $\frac{1}{1.6\times 10^{-19}}$ $[ e$ ${\rm s}^{-1}]$

となり基本単位のうち $[{\rm s}]$ のみとなります．

こっしー君

そうですね．組立単位としてもいいようですね．

和田先生

次に長さ $[{\rm m}]$ です．
長さに対しては，真空の光速度という物理定数を使います．
今，真空の光速度:

$c$ ≒ $3.0\times 10^{8}$ ${\rm m/s}$

を用いますと，

$[{\rm m}]\sim[c$ ${\rm s}]$

$1$ ${\rm m}$ ≒ $\frac{1}{3.0\times 10^{8}}$ $[ c$ ${\rm s}]$

となりまして，基本単位のうち $[\rm s}]$ のみとなります．
実際，4次元の時空の座標は，逆に時間を長さに換算して， $(ct, x, y, z)$ と表します．

次は，質量 $[{\rm kg}]$ です．どうしましょうか．

こっしー君

どの物理定数を使いましょうか？

和田先生

量子物理学で用いる，プランク定数 $h$ を用います．

$h$ ≒ $6.6\times 10^{-34}$ ${\rm m^{2} kg/s}$

を用いますと，

$[{\rm kg}] \sim [ h$ ${\rm s/m}^{2}]$

となり，上の $[{\rm m}]$ より，

$[{\rm kg}} \sim [ h$ ${\rm s}/(c$ ${\rm s})^{2}] =[ h$ $c^{-2}$ ${\rm s}^{-1}]$

$1$ ${\rm kg}$ ≒ $\frac{(3.0\times 10^{8})^{2}}{6.6\times 10^{-34}}$ $[ h$ $c^{-2}$ ${\rm s}^{-1}]$ ≒ $1.4\times 10^{50}$ $[ h$ $c^{-2}$ ${\rm s}^{-1}]$

となって，基本単位のうち $[{\rm s}]$ のみで表せることになりました．

次に，物質量 $[{\rm mol}]$ ですが，アボガドロ定数 $N_{A}$ を用いますと，

$N_{A}$ ≒ $6.0\times 10^{23}$ ${\rm mol}^{-1}$

より，

$[{\rm mol}]\sim [N_{A}^{-1}]$

$1$ ${\rm mol}$ ≒ $6.0\times 10^{23}$ $[N_{A}^{-1}]$

となって，どの基本単位も使わずに表せることになります．

こっしー君

次は熱力学温度 $[{\rm K}]$ ですが，どの物理定数を用いましょうか．

和田先生

統計物理学で用いる，ボルツマン定数を用います．

$k_{B}$ ≒ $1.4\times 10^{-23}$ 　 ${\rm J/K}$

を用いますと，

$[{\rm K}] \sim [ k_{B}^{-1}$ ${\rm J}]$

$[{\rm J}]$ は $[{\rm kg m^{2}/s^{2}}]$ なので，上の $[{\rm kg}]$ と $[{\rm m}]$ より，

$[{\rm K}] \sim [k_{B}^{-1}$ $h$ $c^{-2}$ ${\rm s}^{-1}$ $(c$ ${\rm s})^{2}/{\rm s}^{2}]=[h$ $k_{B}^{-1}$ ${\rm s}^{-1}]$

$1$ ${\rm K}$ ≒ $\frac{1.4\times 10^{-23}}{6.6\times 10^{-34}}$ $[h$ $k_{B}^{-1}$ ${\rm s}^{-1}]$ ≒ $2.5\times 10^{-11}$ $[ h$ $k_{B}^{-1}$ ${\rm s}^{-1}]$

となって， $[{\rm K}]$ は基本単位のうち $[{\rm s}]$ のみで表せることになります．

最後に，光度 $[{\rm cd}]$ ですが，これは人が放射エネルギーを明るさとして感じるときの感じやすさである視感度が関わってきますので，独特のものです．

ということで，基本単位のうち $[{\rm s}]$ と $[{\rm cd}]$ の2つで表せることになりました．

こっしー君

なるほど，電気素量・真空の光速度・プランク定数・アボガドロ定数・ボルツマン定数は，非常に重要な物理定数なのですね．

和田先生

もう一度整理すると， $[{\rm s}]$ と $[{\rm cd}]$ はそのままで，

$[{\rm A}] \sim [e$ ${\rm s}^{-1}]$

$[{\rm m}] \sim [c$ ${\rm s}]$

$[{\rm kg}] \sim [h$ $c^{-2}$ ${\rm s}^{-1}]$

$[{\rm mol}] \sim [ N_{A}^{-1}]$

$[{\rm K}] \sim [h$ $k_{B}^{-1}$ ${\rm s}^{-1}}]$

で表せることになります．
これは， $[{\rm s}]$ に注目した結果ですが， $[{\rm A}]$ ， $[{\rm m}]$ ， $[{\rm kg}]$ ， $[{\rm K}]$ のどれに注目しても同じことになります．
そして，【和田先生のなるほどゼミナール14】わたしたちの宇宙のみじめな最期3で出した宿題

問題：
物理量を表す単位は，最低いくつ必要でしょうか？
そして，その単位は何でしょう？

の解答の2つ目は，物理定数を単位に組み込みますと，SIの7つの基本単位の内「2つ」あればいいことになります．

こっしー君

うーん．直感的にはなじみにくいですね．

和田先生

そうですね．
でも，使い方次第では便利ですよ．

こっしー君

そうですか．

和田先生

さて，今回の宿題はこちらです．

問題：
宇宙のお話をするときに，欠くことのできない重要な物理定数がもう一つあります．
この定数は， [ T $^{-1}$ ] で表せます．その定数とはなんでしょうか．