【和田先生のなるほどゼミナール9】振動現象の，自己と他者（正弦波）4

強制振動の一般解

和田先生

前回は、ちょっと寄り道をしてしまいました．

式(28)に戻りましょう．

$m$ , $k$ , $c$ , $\omega$ は実数なので， $\omega=\omega_0$ かつ $c=0$ のときを除いて，式(31)より，

$DD(M)\ne 0$ .　　　(46)

よって，

$\left[\begin{array}{cc}P \\ Q \end{array}\right] =\frac{1}{DD(M)}\left[\begin{array}{cc}k-m\omega ^{2} & c\omega \\ -c\omega & k-m\omega ^{2} \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}1 \\ 0 \end{array}\right]$ ,　　　(47)

$\left[\begin{array}{cc}P \\ Q \end{array}\right]=$ $\begin{array}{cc}\frac{k-m\omega ^{2}}{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}} \\ \frac{-c\omega }{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}} \end{array}$ 　 $\begin{array}{cc}\frac{c\omega }{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}} \\ \frac{k-m\omega^{2}}{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}}\end{array}$ $\left[\begin{array}{cc}1 \\ 0 \end{array}\right]$ ,　　　(48)

$P=\frac{k-m\omega ^{2}}{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}}$ 　,　 $Q=\frac{-c\omega }{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}}$ ,　　　(49)

となり，

$x_{p}(t)=\frac{k-m\omega ^{2}}{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}}\sin \omega t+\frac{-c\omega }{(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}}\cos \omega t$ . (50)

ここで，「『振動現象をつむぐ，中学校の数学』第２回の式(5)」をもう一度書きますと，

$\omega _{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 　,　 $\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}$ .　　　(51)

これを使って，式(50)を書き直しますと，

$x_{p}(t)=\frac{1}{m}$ $\frac{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta\omega _{0}\omega )^{2}}\sin \omega t$

$- \frac{2\zeta\omega _{0}\omega }{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta\omega _{0}\omega )^{2}}\cos \omega t$ .　　(52)

ここで，式(4)でも $\lambda$ を使っていますが，別の意味で，

$\lambda =\frac{\omega }{\omega _{0}}$ 　　　(53)

とおくと，

$x_{p}(t)=$

$\frac{1}{m\omega _{0}^{2}}$ $\frac{1-\lambda ^{2}}{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}\sin \omega t- \frac{2\zeta\lambda }{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}\cos \omega t$ .　(54)

三角関数を合成すると，

$x_{p}(t)=\frac{1}{m\omega _{0}^{2}\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}}\sin (\omega t+\beta )$

$=\frac{1}{k} \frac{1}{\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}}\sin (\omega t+\beta)$ .　　　(55)

ここで，

$\tan \beta =-\frac{2\zeta\lambda }{1-\lambda ^{2}}$ 　　　(56)

とおきました．ただし， $\lambda ^{2}\ge 1$ の場合についての注意が必要です．

この $x_{p}(t)$ が式(11)を満たすことを確認してください．

こっしー君

煩雑なので，式(55)を書き直します．

$x_{p}(t)=X_{0}\sin (\omega t+\beta )$ 　　　(57)

ここで，

$X_{0}=\frac{1}{m\omega _{0}^{2}\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}}$ 　　　(58)

です．微分して，

$\frac{dx_{p}}{dt}(t)=X_{0}\omega \cos (\omega t+\beta )$ , $\frac{d^{2}x_{p}}{dt^{2}}(t)=-X_{0}\omega ^{2}\sin (\omega t+\beta )$ . (59)

式(57)と式(59)を式(11)の左辺に代入して，

$m\frac{d^{2}x_{p}}{dt^{2}}(t)+c\frac{dx_{p}}{dt}(t)+kx_{p}(t)$

$=m\lbrace -X_{0}\omega ^{2}\sin (\omega t+\beta )\rbrace +c\lbrace X_{0}\omega \cos (\omega t+\beta )\rbrace$

$+k\lbrace X_{0}\sin (\omega t+\beta ) \rbrace$

$=X_{0}\lbrace -m\omega ^{2}\sin (\omega t+\beta )+c\omega \cos (\omega t+\beta )+k\sin (\omega t+\beta ) \rbrace$

$=\frac{1}{\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}$ $-\frac{m\omega ^{2}}{m\omega _{0}^{2}}\sin (\omega t+\beta )$

$+\frac{c\omega }{m\omega _{0}^{2}}\cos (\omega t+\beta )+\frac{k}{m\omega _{0}^{2}}\sin (\omega t+\beta )$

$=\frac{1}{\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}}\lbrace -\lambda ^{2}\sin (\omega t+\beta )+2\zeta\lambda \cos (\omega t+\beta )$

$+\sin (\omega t+\beta ) \rbrace$

$=\frac{1}{\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}}\lbrace (1-\lambda ^{2})\sin (\omega t+\beta )+2\zeta\lambda \cos (\omega t+\beta )\rbrace$

$=\frac{1}{\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}}\sqrt{(1-\lambda ^{2})^{2}+(2\zeta\lambda )^{2}}\sin (\omega t+\beta +\gamma )$

$=\sin (\omega t+\beta +\gamma )$ .　　　(60)

ここで，

$\tan \gamma =\frac{2\zeta\lambda }{1-\lambda ^{2}}$ 　　　(61)

式(56)，式(61)より

$\tan (\beta +\gamma )=\frac{\tan \beta +\tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma }$ $=\frac{\frac{2\zeta\lambda }{1-\lambda ^{2}}-\frac{2\zeta\lambda }{1-\lambda ^{2}}}{1-\left(\frac{2\zeta\lambda }{1-\lambda ^{2}}\right)^{2}}=0$ .　　　(62)