【和田先生のなるほどゼミナール30】振動現象の，自己と“ちょっと変わった”他者（三角波）3

必要条件・十分条件

和田先生

こんにちは．
それでは，今回は必要条件・十分条件について，お話ししましょう．

こっしー君

よろしくお願いします．

和田先生

必要条件・十分条件の表現方法としては，矢印を書いて考える方法をよく見かけますが，ときどき混乱します．いい方法として，集合で考える方法がありますよ．

例えば，2つの集合 $A$ および $B$ が包含関係にある場合を考えます（ $A$ $\subset$ $B$ ）．
A⊂B

このときは， $A$ は $B$ の十分条件． $B$ は $A$ の必要条件です． $B$ の方が $A$ より大きな集合であればいいのです．このとき，数学では，よく，「 $A$ ならば $B$ である（ $A$ $\rightarrow$ $B$ ）．」と言います．私は，「 $A$ であると思っていたら，気が付いて周りを見渡すと， $B$ でもあった」的に感覚的にとらえています．「 $A$ $<$ $B$ 」とみてもいいのですが，集合の包含関係が一番よく論理内容を表していると考えています．

この集合の包含関係は，逆・裏・対偶の見極めに使えます．やってみてください．

こっしー君

はい．

「逆」は「 $B$ ならば $A$ である．」，「裏」は「 $A$ でないならば $B$ でない．」，「対偶」は「 $B$ でないならば $A$ でない．」です．対偶は命題「 $A$ ならば $B$ である」が正しい（真）ならば，常に真です（「 $B$ でないならば $A$ でない」が真．）．証明などで，正面突破が難しいとき用いられる論理構成です．逆と裏は，お互いに対偶の関係にあります．必要十分条件の場合は，すべて成り立ちます． $A$ と $B$ とが一致するときです．これらの関係を図で示します．
逆・裏・対偶

和田先生

前回の「ディリクレ条件」が $A$ ，「収束する」が $B$ ですので， $A$ が $B$ より小さく，逆がいえません．よって，必要十分条件になれません．従って，裏が成り立ちません．よって， $A$ でないとき（ディリクレ条件が揃わないとき）は， $B$ である（ $\bar{A}$ $\cap$ $B$ ）とも $B$ でない（ $\bar{A}$ $\cap$ $\bar{B}$ ）ともいえない（収束するかしないかが，わからない）ということになります．図で示してください．

こっしー君

この場合は，以下の先の図の斜線部分なのか，後の図の斜線部分なのか，判断がつかないという意味になります．