【和田先生のなるほどゼミナール32】振動現象の，自己と“ちょっと変わった”他者（三角波）5

三角波のフーリエ係数の計算

和田先生

こんにちは．
それではさっそく前回宿題にした計算をやってみてください．

こっしー君

わかりました．

$a_n$ は， $n\;\ne\;0$ の場合，

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{0}^{\frac{T}{4}}{t\cos \frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}dt}$ $=\frac{T^{2}}{8n\pi }\sin \frac{n\pi }{2}+$\frac{T}{2n\pi }$^{2}$\cos \frac{n\pi }{2}-1$$ 　　　(12)

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}{$-t+\frac{T}{2}$\cos \frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}dt}$
　　　 $=-\frac{T^{2}}{8n\pi }\sin \frac{3n\pi }{2}-\frac{T^{2}}{8n\pi }\sin \frac{n\pi }{2}-$\frac{T}{2n\pi }$^{2}$\cos \frac{3n\pi }{2}-\!\cos \frac{n\pi }{2}$$ 　　 (13)

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{\frac{3T}{4}}^{T}{(t-T)\cos \frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}dt}$
　　　 $=\frac{T^{2}}{8n\pi }\sin \frac{3n\pi }{2}+$\frac{T}{2n\pi }$^{2}$1-\!\cos \frac{3n\pi }{2}$$ 　　　(14)

となり，前回の式(10)より，

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $a_{n}=0$ 　　　(15)

となります．

和田先生

次に， $b_n$ をお願いします．

こっしー君

はい．

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{0}^{\frac{T}{4}}{t\sin \frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}dt}=-\frac{T^{2}}{8n\pi }\cos \frac{n\pi }{2}+$\frac{T}{2n\pi }$^{2}\sin \frac{n\pi }{2}$ 　　　(16)

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}{$-t+\frac{T}{2}$\sin \frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}dt}$
　　　 $=\frac{T^{2}}{8n\pi }\cos \frac{3n\pi }{2}+\frac{T^{2}}{8n\pi }\cos \frac{n\pi }{2}-$\frac{T}{2n\pi }$^{2}$\sin \frac{3n\pi }{2}-\!\sin \frac{n\pi }{2}$$ 　　　(17)

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{\frac{3T}{4}}^{T}{(t-T)\sin \frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}dt}$
　　　 $=-\frac{T^{2}}{8n\pi }\cos \frac{3n\pi }{2}+$\frac{T}{2n\pi}$^{2}$\sin 2n\pi -\!\sin \frac{3n\pi }{2}$$ 　　　(18)

となり，前回の式(11)より，

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $b_{n}=\frac{T}{n^{2}\pi ^{2}}$\sin \frac{n\pi }{2}-\!\sin \frac{3n\pi }{2}$$ 　　　(19)

となります．さらに，

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $a_{0}=\frac{T}{2}\int_{0}^{T}{f(t)dt}=0$ 　　　(20)

となります．

和田先生

そうですね．それでは，以前の式(7)に式(15)，(19)，および，(20)を代入することにより，表式はどうなりますか．

こっしー君

　　　 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }{$a_{n}\cos \frac{n\pi t}{L}+b_{n}\sin \frac{n\pi t}{L}$}$
　　　　　　 $=\frac{T}{\pi ^{2}}\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n^{2}}$\sin \frac{n\pi }{2}-\!\sin \frac{3n\pi }{2}$\sin \frac{2n\pi t}{T}}$ 　　　(21)

と表現できます．