【和田先生のなるほどゼミナール31】振動現象の，自己と“ちょっと変わった”他者（三角波）4

和田先生

こんにちは．
前回の宿題の答えはわかりましたか？

こっしー君

はい、「４．アルミホイルがない実験室には，ガラス棒がない．」ですね．

和田先生

正解です．それでは，詳しく説明してください．

こっしー君

わかりました．まず，問題文のａからｄを図にしてみます．

ａ．シャーレがある実験室には，丸底フラスコと上皿天秤がある．
シャーレがあるなら丸底フラスコと上皿天秤がある

ｂ．ガラス棒がある実験室には，アルミホイルとロートがある．
ガラス棒があるならアルミホイルとロートがある

ｃ．ガラス棒がない実験室には，アルコールランプがない．
これは対偶を考えて図にします．
アルコールランプがある実験室には，ガラス棒がある．
アルコールランプがあるならガラス棒がある

ｄ．アルミホイルがない実験室には，シャーレがない．
これも対偶を考えて図にします．
シャーレがある実験室には，アルミホイルがある．
シャーレがあるならアルミホイルがある

次に，ａとｄを組み合わせた図を描いてみます．
シャーレがあるなら丸底フラスコと上皿天秤とアルミホイルがある

次は，ｂとｃを組み合わせた図を描いてみます．
アルコールランプがあるならガラス棒がありアルミホイルとロートがある

そして、全体の図を描くと次のようになると思います．
全体のベン図

和田先生

ちょっと複雑な図になりましたね．

こっしー君

はい．それでも「シャーレがなければ，ロートがある．」のようなものがなかったので，よかったと思います．そうでなければ，さらに複雑になっていたと思います．

全体の図を見ますと，「シャーレとアルコールランプが共にあれば，7つの機材すべてがある．」と言えることなど，ａからｄの個々の文を単独に検討してもわからないことがわかってきます．

和田先生

そうですね．それでは，１から５の文を図にしながら説明を続けてください．

こっしー君

はい．

１．丸底フラスコがある実験室には，アルミホイルがある．
丸底フラスコがあるならアルミホイルがある

この図は，ａからｄを元に描いたものと相容れません．ａからｄの文からは，丸底フラスコがあっても，他に何があるかはわからないので，アルミホイルがあるとは言えません．したがって，１は正しくありません．

２．アルコールランプがある実験室には，上皿天秤がある．
アルコールランプがあるなら上皿天秤がある

この図も，ａからｄを元に描いたものと相容れません．ａからｄの文からは，アルコールランプがある場合，ガラス棒とアルミホイルとロートがあること以外はわかりません．したがって，２も正しくありません．

３．ロートがある実験室には，アルミホイルがある．
ロートがあるならアルミホイルがある

この図も，ａからｄを元に描いたものと相容れません．ａからｄの文からは，ロートがあっても，他に何があるかはわからないので，アルミホイルがあるとは言えません．したがって，３も正しくありません．

４．アルミホイルがない実験室には，ガラス棒がない．
これは対偶を考えて図にします．
ガラス棒がある実験室には，アルミホイルがある．
ガラス棒があるならアルミホイルがある

これは，ｂだけからでも正しいことがわかります．

５．アルミホイルがない実験室には，ロートがない．
これは，３の対偶ですので正しくありません．

和田先生

ありがとうございました．

それでは，三角波の話しをしていきましょう．

ちょっと変わった他者：三角波

和田先生

以前の「振動現象の，自己と他者」では，外力として正弦波を考えました．今回は，加えられる外力が，周期 $T=2\pi/\omega$ を持つのですが，その関数形が初等関数で簡単に表せない場合について考えます．たとえば，

　　　 $F(t)={\Large\frac{4F_{0}}{T}}f(t)$

として， $f(t)$ の1周期分を区間 $[\,0\,,\;T\,)$ とし，その値を以下の式(9)のように定義し，区間 $[\,0\,,\;T\,)$ の外では， $n$ を整数として $f(t)=f(t+nT)$ となるように拡張します．

　　　 $f(t)=$

$\begin{array}{cl} t & \;\;\;\;\;\left[ 0\,,\;\frac{T}{4}\right) \\ -t+\frac{T}{2} & \;\;\;\;\;\left[ \frac{T}{4}\,,\;\frac{3T}{4}\right) \\ t-T & \;\;\;\;\;\left[ \frac{3T}{4}\,,\;T\right) \\ \end{array}$ 　　　(9)

image6 三角波

$f(t)$ は単純な関数ですが，初等関数では簡単に表現できません．

まず，ディリクレの条件を確認します．
連続点 $t$ において，

(I) $\;\;f(t)$ は区間 $[\;0\;,\;\;T\;)$ で定義されていて，1価である．

(II) $\;f(t)$ は周期 $T$ の周期関数である．

(III) $f(t)$ とその導関数 $f\;'(t)$ は区間 $[\;0\;,\;\;T\;)$ で区分的に連続である．

すなわち， $f(t)$ の方は，連続なので，問題ありません．ただし，導関数 $f\;'(t)$ は， $t\,=\,T/4$ と $t\,=\,3\,T/4$ で不連続なので，確認します．区間 $(\,0\,,\;T\,)$ を3つの区間 $I1=\,(0,T/4)$ ， $I_2=\,(\,T/4\;\;,\;\;\;3\,T/4\,)$ ， $I_3=\,(\,3\,T/4\;\;,\;\;\;T\,)$ に分けます．上の図で， $I_1$ において，端点 $t=T/4$ に近づけると $1$ になります． $I_2$ において，端点 $t\,=\,T/4$ に近づけると $-1$ になり，端点 $t\,=\,3\,T/4$ に近づけると $-1$ になります． $I_3$ において，端点 $t\,=\,3\,T/4$ に近づけると $1$ になります．よって，区分的に連続であることになります．このとき，級数式は， $f(t)$ に収束します．

よって，

　　　 $f(t)={\Large\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\left(a_{n}\cos {\Large\frac{n\pi t}{L}}+b_{n}\sin {\Large\frac{n\pi t}{L}}\right)}$

となります．従って，フーリエ級数に展開できます．

三角波のフーリエ係数

和田先生

以前の式(6)より， $2L=T$ なので， $c=0$ として，

$a_{n}={\Large\frac{1}{\frac{T}{2}}}\left\{ {\Large\int_{0}^{\frac{T}{4}}}\;t\cos {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}\;dt\right.$ $+{\Large\int_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}}\;\left(-t+{\Large\frac{T}{2}}\right)\cos {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}\;dt$ $+\left.{\Large\int_{\frac{3T}{4}}^{T}}\;(t-T)\cos {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}\;dt\right\}$ 　　　 $(n=0,\;1,\;2,\;\ldots)$ 　　　(10)

$b_{n}={\Large\frac{1}{\frac{T}{2}}}\left\{ {\Large\int_{0}^{\frac{T}{4}}}\;t\sin {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}\;dt\right.$ $+{\Large\int_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}}\;\left(-t+{\Large\frac{T}{2}}\right)\sin {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}\;dt$ $+\left.{\Large\int_{\frac{3T}{4}}^{T}}\;(t-T)\sin {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}\;dt\right\}$ 　　　 $(n=0,\;1,\;2,\;\ldots)$ 　　　(11)

となります．

それでは，この計算を今回の宿題としましょう．

こっしー君

わかりました．やってみます．