【和田先生のなるほどゼミナール7】振動現象の，自己と他者（正弦波）2

今回は，式(1)において， が0でない場合についてのお話です．

今までの話は，外力 がない場合のお話で，
いわば「振動現象の，自己」にあたることでした．

今回は が0でない場合についてのお話でして，
いわば「振動現象の，自己と他者」にあたることになります．

「自己と他者」！
この言葉は，聞いたことがあります．
確か，R.D.レインの『自己と他者』（みすず書房 1975）という著作があったように記憶しています．

そうですね．
R.D.レインは，イギリスの医学者・精神科医・精神分析家でして，その著作の一つが『自己と他者』です．興味があったら読んでみてください．
R.D.レインに興味がある人は，著作を読むのが一番ですが，Webでも色々解説されていますよ．
ここでは，
「他者の言動からの影響は，ほぼ全ての人が避けられない．」
という意味を込めています．

「系」は外力が0でない場合は，その振動現象は外力の影響を受ける，ということでしょうか．

そうですね．
これを，強制振動現象と呼んでいます．

では，解いてゆきましょう．今回は，，すなわち，の場合の話に限定します．

前回は，式(2)，(3)を解いて一般解(7)が得られたのでした．
以下で区別が必要になってくるので，ここで，この式(7)で得られる一般解を

(8)

と呼びなおしてみます．

この解は，式(2)を満たしますので，

(9)

です．

このとき，今回考えている式(1)の解を， とします．この解を求めたいのです．
ちなみに のとき微分方程式(1)のことを，非斉次定数係数線形常微分方程式と呼んでいます．

どういたしましょう．

より一般的な解法として，「定数変化法」という解法があります（ご要望があれば解説いたします．）が，計算が少し煩雑です．
我々は，まずは，外力 として初等的なものを対象とするので，「未定係数法」というより簡単な方法で解いてみましょう．

未定係数法！
でもそれは， が具体的な関数でないとできないような気がします．

そうです．
そこで，振動試験機などでよく用いられている周期的外力の関数として，三角関数，sinを用いようと思います．
すなわち，

とします．これで，式(1)の代わりに，

(10)

を考えます．ここで， は周期的外力の角振動数です．この周期 で外力は周期変動をします．

さあ，どうしましょうか．

うーん．とりあえず， は式(10)の解なので，

(11)

は成り立ちますね．

そうですね．
そこで，式(9)と式(11)の辺々を加えてみましょう．

やってみます．

　　　(12)

まとめられるものは，まとめると，

. (13)

さらに， （微分作用素または微分演算子といいます．）は線形なので，ある微分可能な関数 および においては，

でしたので，

　　　(14)

となりました．

いいですね．
そこで，もう一度，

(15)

と，おきなおしてみると，この も式(1)の解であることになります．
そこで，一般解の形は，式(15)の形になると考えるわけです．

でも，やっぱり， はわかりませんよね．

そこで，未定係数法なのです．
ためしに，

   (16)

としてみましょうか．

, (17)

となり，式(11)は，

(18)

(19)

.

を定数とすれば，

(20)

となります．

と とは線形独立なので， が任意のとき，式(20)は成立しません．

(21)

としても，同様にうまくいきません．sinとcosの両方が含まれていないとうまくいかないことになります．

そこで，未定係数法では， および を未知定数（未定係数）として，

(22)

とおいて，式(11)に代入することで， と を求めることをします．

さて，少し長くなりましたので，続きは次回にしましょう．