【和田先生のなるほどゼミナール35】振動現象の，自己と“変わった”他者（のこぎり波）1

のこぎり波

和田先生

こんにちは．

前回までの「振動現象の，自己と“ちょっと変わった”他者」では，1自由度振動系を想定し，以下の運動方程式を考えました（「振動現象の，自己と他者」1回の式(1)）．

　　　 $m{\Large\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\Large\frac{dx}{dt}}+kx=F(t)$ 　　　(1)

このとき，外力として，

　　　 $F(t)={\Large\frac{4F_{0}}{T}}f(t)$ 　　　(2)

とし， $f(t)$ として，以下の式(3)を区間 $-\infty\,,\;\infty$ に拡張した三角波を考えました．

　　　 $f$t$=$

$\begin{array}{lll}t&&\left[0,\,{\Large\frac{T}{4}}\right)\\-t+{\Large\frac{T}{2}}&&\left[{\Large\frac{T}{4}},\,{\Large\frac{3T}{4}}\right)\\t-T&&\left[{\Large\frac{3T}{4}},\,T\right)\end{array}$ 　　　(3)

そして，これをフーリエ級数展開して，

　　　 $f$t$={\Large\frac{T}{\pi ^{2}}}\sum_{n=1}^{\infty }{{\Large\frac{1}{n^{2}}}\:$\sin {\Large\frac{n\pi }{2}}-\!\sin {\Large\frac{3n\pi }{2}}$\!\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}}$ 　　　(4)

とし，式(1)より，

　　　 $m{\Large\frac{d^2x}{dt^2}}+c{\Large\frac{dx}{dt}}+kx$
　　　 $={\Large\frac{4F_0}{\pi^2}}\sum_{n=1}^\infty{{\Large\frac{1}{n^2}}\:$\sin {\Large\frac{n\pi}{2}}-\!\sin {\Large\frac{3n\pi}{2}}$\!\sin{\Large\frac{2n\pi t}{T}}}$ 　　　(5)

として考えました．

今回は，もう少し変わった他者（外力）として，のこぎり波を考えたいと思います．今回も，周期 $T=2\pi/\omega$ で外力は周期変動をしますので，加えられる外力は，周期 $T=2\pi/\omega }$ を持つのですが，その関数形が初等関数で簡単に表せない場合に相当します．これが，今回の，“変わった”他者になります．「“ちょっと変わった”他者」から，「“変わった”他者」になりました．前回と同様に，外力をフーリエ級数展開していきます．

　　　 $F$t$={\Large\frac{2F_{0}}{T}}f$t$$

とし，のこぎり波は以下のように， $f$t$$ の1周期分を区間 $\left[\,0\,,\:T\,\right)$ とし，その値を式(6)のように定義し，区間 $\left[\,0\,,\:T\,\right)$ の外では， $n$ を整数として $f$t$=f$t+nT$$ となるように拡張します．

　　　 $f$t$=$ $\!\begin{case}t&\;\;\left[ 0\,,\:{\Large\frac{T}{2}}\right) \\t-T&\;\;${\Large\frac{T}{2}}\,,\:T$\end{case}$ 　　　(6)

image1-sawtooth-wave-ft image2-sawtooth-wave-f't

前回までは，連続関数だったので，あまり気にせずできましたが，今回は， $\mathbb N$ を自然数全体の集合とするとき，

　　　 $t=(2n+1)\,{\Large\frac{T}{2}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$n\in\mathbb{N}\cup\lbrace 0\rbrace \!$$ 　　　(7)

の点において，不連続になっています．どうしましょうか．

こっしー君

以前に「振動現象の，自己と“ちょっと変わった”他者」で出てきた，ディリクレの条件を考えます．

ディリクレの条件

こっしー君

式(6)において，ディリクレの条件を満たすことを確認をします．

連続点 $t$ において，

(I) $\;\:f$t$$ は区間 $\left[\,0\,,\:T\,\right)$ で1個の点 $t=T/2$ を除いて定義されていて，1価である．

(II) $\:f$t$$ は周期 $T$ の周期関数である．

(III) $f$t$$ とその導関数 $f\:'$t$$ は区間 $\left[\,0\,,\:T\,\right)$ で区分的に連続である．

　
今回の場合は， $f$t$$ にも，導関数 $f\:'$t$$ にも，不連続点があります． $t=T/2$ で不連続なので確認します．区間 $\left[\,0\,,\:T\,\right\,)$ を2つの区間 $I_1=$ $\left[\,0\;,\;\;\;T/2\,\right)$ ， $I_2=$\,T/2\;,\;\;\;T\:$$ に分けます．

上の図で， $f$t$$ は， $I_1$ において，端点 $t=T/2$ に近づけると $T/2$ になり， $I_2$ において，端点 $t=T/2$ に近づけると $-T/2$ になります．

次に， $f\:'$t$$ は， $I_1$ において，端点 $t=T/2$ に近づけると $1$ になり， $I_2$ において，端点 $t=T/2$ に近づけると $1$ になります．

よって，区分的に連続であることになります．

連続点 $t$ においては，

　　　 $f$t$={\Large\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty }{$a_{n}\cos {\Large\frac{2n\pi t}{T}}+b_{n}\sin \frac{2n\pi t}{T}$}$ 　　　(8)

不連続点においては，

　　　 ${\Large\frac{f$t+0$+f$t-0$}{2}}$
　　　 $={\Large\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty }{$a_{n}\cos{\Large\frac{2n\pi t}{T}}+b_{n}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}$}$ 　　　(9)

となります．

のこぎり波のフーリエ係数

和田先生

前回と同様に，のこぎり波のフーリエ係数を計算してみましょう．

こっしー君

「振動現象の，自己と”\,ちょっと変わった”他者」の式(6)より， $2L=T$ なので， $c=0$ として，

　　　 $a_n={\Large\frac{1}{\frac{T}{2}}}\{\int_0^{\frac{T}{2}}{t\cos {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}+\int_{\frac{T}{2}}^T{$t-T$\cos{\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}\}$

$$n=0\,,\qquad 1\,,\qquad 2\,,\qquad \ldots\,$$ 　　　(10)

　
　　　 $b_n={\Large\frac{1}{\frac{T}{2}}}\{ \int_0^{\frac{T}{2}}{t\sin{\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}+\int_{\frac{T}{2}}^{T}{$t-T$\sin{\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}\}$

$$n=1\,,\qquad 2\,,\qquad \ldots\,$$ 　　　(11)

です．

和田先生

計算してみてください．

こっしー君

$a_{n}$ は， $n\:\ne\:0$ の場合，

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_0^{\frac{T}{2}}{t\cos {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}=${\Large\frac{T}{2n\pi }}$^{2}$\cos n\pi -1$$ 　　　(12)

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{\frac{T}{2}}^{T}{$t-T$\cos {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}=${\Large\frac{T}{2n\pi }}$^{2}$1-\!\cos n\pi $$ 　　　(13)

となり，式(10)より，

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $a_n=0$ 　　　(14)

となります．

和田先生

次に， $b_n$ をお願いします．

こっしー君

はい．

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{0}^{\frac{T}{2}}{t\sin {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}=-{\Large\frac{T^{2}}{4n\pi }}\cos n\pi$ 　　　(15)

　　　[+] 途中式を表示する
　　　 $\int_{\frac{T}{2}}^{T}{$t-T$\sin {\Large\frac{n\pi t}{\frac{T}{2}}}dt}=-{\Large\frac{T^{2}}{4n\pi }}\cos n\pi$ 　　　(16)

　
となり，式(11)より，

　　　 $b_{n}={\Large\frac{1}{\frac{T}{2}}}\{$-{\Large\frac{T^{2}}{4n\pi }}\cos n\pi $+$-{\Large\frac{T^{2}}{4n\pi }}\cos n\pi $\}$
　　　　 $\;=-{\Large\frac{T}{\pi }}{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}$ 　　　(17)

となります．

和田先生

さらに，

　　　 $a_{0}={\Large\frac{T}{2}}\int_{0}^{T}{f$t$\,dt=}{\Large\frac{T}{2}}\{\int_{0}^{\frac{T}{2}}{\,t\,dt+\int_{\frac{T}{2}}^{T}{\,$t-T$\,dt}}\}$
　　　　 $\;\;={\Large\frac{T}{2}}$ $\left\{\left[{\Large\frac{t^{2}}{2}}\right]_{0}^{\frac{T}{2}}\right.$ $+$ $\left.\left[{\Large\frac{t^{2}}{2}}-Tt\right]_{\frac{T}{2}}^{T}\right\}$
　　　　 $\;\;=0$ 　　　(18)

なので，式(8)に式(14)，(17)，および，(18)を代入することにより，表式はどうなりますか．

こっしー君

　　　 $f$t$={\Large\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty }{$a_{n}\cos {\Large\frac{n\pi t}{L}}+b_{n}\sin {\Large\frac{n\pi t}{L}}$}$
　　　　　　 $={\Large\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty }{$a_{n}\cos {\Large\frac{2n\pi t}{T}}+b_{n}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}$}$
　　　　　　 $=-{\Large\frac{T}{\pi }}\sum_{n=1}^{\infty }{{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}}$ 　　　(19)

と表現できます．

和田先生

今回は，ここまでにして，次回はグラフを描いてみるところからやりましょう．

こっしー君

それでは，次回もよろしくお願いします．