【和田先生のなるほどゼミナール36】振動現象の，自己と“変わった”他者（のこぎり波）2

和田先生

こんにちは．

今回はまず，前回求めた式(19)を使って，のこぎり波のグラフを描いてみましょう． $T=0.25\;\rm s$ として， $n=100$ までの和としてグラフを描いてください．

こっしー君

はい，このようになります．
image3-sawtooth-wave-fourier-ft

ギブス現象

和田先生

もとの関数が連続でないので，周期 $T=0.25\;\rm s$ のちょうど真ん中（ $0.125 + nT$ ）で，ひげのようなものが見えます．これは，ギブス現象（Gibbs phenomenon）と呼ばれています．

この現象は，正弦関数・余弦関数という連続関数の級数による，不連続関数の近似ということの困難が現れたものと言えます． $n$ 次部分和が大きく振動し，その値が近似する関数の値より大きくなったり，小さくなったりしてしまいます．これは，不連続点近傍で，フーリエ級数が一様収束しないからであると示されています．この超過量は，部分和の項数をいくら増やしてもなくならず，ある有限極限値に近付きます．

こっしー君

その値は，

　　　 ${\Large\frac{2}{\pi }}\int_{0}^{\pi }{{\Large\frac{\sin t}{t}}}dt=1.1789797\cdots$ 　　　(20)

となり，

　　　 $\left|1-1.17898\right|\,$ $\approx 0.17898$ 　　　(20)

なので，片振幅の約17.898％の誤差になります．

和田先生

結構大きいですね．ギブス現象に関しては，いろいろな改善方法が提案されていますが，ここでは触れずにおきます．

外力がのこぎり波の運動方程式

和田先生

前回の式(1)と式(19)および $\underline{F$t$}$ の式より，解くべき微分方程式は，

　　　 $m{\Large\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\Large\frac{dx}{dt}}+kx={\Large\frac{2F_{0}}{T}}$-{\Large\frac{T}{\pi }}\sum_{n=1}^{\infty }{{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}}$$

　　　 $=-{\Large\frac{2F_{0}}{\pi }}\sum_{n=1}^{\infty }{{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}}$ 　　　(22)

ということになりました．

これで，解くべき方程式が導けました．解いてみてください．

こっしー君

今回の外力も，式(22)を見ると，正弦関数の重ね合わせになっています．これにより，以前の「振動現象の，自己と”ちょっと変わった”他者」と同様に，解 $x$t$$ も重ね合わせになっていると考えます．すなわち，

　　　 $x$t$=\sum_{n=1}^{\infty }{x_{n}$t$}$ 　　　(23)

となっていることを使います．このことは，以前の「振動現象の，自己と”ちょっと変わった”他者」と同様に，共振という現象をうまく説明することができます．後ほど，試みます．

和田先生

ではやってみましょうか．

こっしー君

式(23)より，項別微分して，

　　　 ${\Large\frac{dx}{dt}}$t$={\Large\frac{d}{dt}}\sum_{n=1}^{\infty }{x_{n}$t$=\sum_{n=1}^{\infty }{{\Large\frac{dx_{n}}{dt}}$t$}}$ 　　　(24)

　　　 ${\Large\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}$t$={\Large\frac{d^{2}}{dt^{2}}}\sum_{n=1}^{\infty }{x_{n}$t$=\sum_{n=1}^{\infty }{{\Large\frac{d^{2}x_{n}}{dt^{2}}}$t$}}$ 　　　(25)

式(23)，(24)，(25)より，

　　　 $m\sum_{n=1}^{\infty}{\Large\frac{d^2 x_n}{dt^2}}$t$+c\sum_{n=1}^{\infty}{\Large\frac{dx_n}{dt}}$t$+k\sum_{n=1}^{\infty}x_n$t$$
　　　 $=-{\Large\frac{2F_0}{\pi}}\sum_{n=1}^{\infty}{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}$ 　　　(26)

　
　　　 $\sum_{n=1}^{\infty }\left\{ m{\Large\frac{d^2 x_n}{dt^2}}$t$+c{\Large\frac{dx_n}{dt}}$t$+kx_n$t$\right\}$
　　　 $=-{\Large\frac{2F_0}{\pi}}\sum_{n=1}^{\infty }{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}$ 　　　(27)

従って，各 $n\in\mathbb{N}\cup\lbrace0\rbrace$ （ $\mathbb{N}$ は自然数全体）に対して，

　　　 $m{\Large\frac{d^{2}x_{n}}{dt^{2}}}$t$+c{\Large\frac{dx_{n}}{dt}}$t$+kx_{n}$t$=-{\Large\frac{2F_{0}}{\pi }}{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}\sin {\Large\frac{2n\pi t}{T}}$ 　　　(28)

ここで，

　　　 $S_{n}=-{\Large\frac{2F_{0}}{\pi }}{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}$ 　　　(29)

　　　 $\it\Omega _{n}={\Large\frac{2n\pi }{T}}$ 　　　(30)

とおきますと，式(28)は，

　　　 $m{\Large\frac{d^{2}x_{n}}{dt^{2}}}$t$+c{\Large\frac{dx_{n}}{dt}}$t$+kx_{n}$t$=S_{n}\sin \it\Omega _{n}t$ 　　　(31)

となり，以前の「振動現象の，自己と”ちょっと変わった”他者」と同様に解けることになります．

和田先生

やってみてください．

斉次解

こっしー君

まず，斉次方程式を解きます．斉次解を $x_{nn}$t$$ とすると，

　　　 $m{\Large\frac{d^{2}x_{nn}}{dt^{2}}}$t$+c{\Large\frac{dx_{nn}}{dt}}$t$+kx_{nn}$t$=0$ 　　　(32)

このタイプは，「振動現象をつむぐ，中学校の数学」でやりました．

式(32)の両辺を $m$ で割って，

　　　 ${\Large\frac{d^{2}x_{nn}}{dt^{2}}}$t$+2\zeta \omega _{0}{\Large\frac{dx_{nn}}{dt}}$t$+\omega _{0}^{2}\:x_{nn}$t$=0$ 　　　(33)

となります．ここで，

　　　 $\omega _{0}=\sqrt{{\Large\frac{k}{m}}},\;\;\;\;\;\;\zeta={\Large\frac{c}{2\sqrt{mk}}}$ 　　　(34)

でした．

式(33)より，特性方程式

　　　 $\lambda^{2}+2\zeta\omega_{0}\,\lambd+\omega_{0}^{2}=0$ 　　　(35)

において， $0\,<\:\zeta\!<\,1$ の場合は， $A$ ， $B$ を定数として，

　　　 $x_{nn}$t$=e^{-\zeta\omega_{0}t}\:$A\cos \sqrt{1-\zeta^{2}}\,\omega_{0}t+B\sin \sqrt{1-\zeta^{2}}\,\omega_{0}t$$ 　　　(36)

でした．

和田先生

次に，特殊解を求めてください．

特殊解

こっしー君

式(31)において，特殊解を $x_{np}$t$$ とすると，以前の「振動現象の，自己と”ちょっと変わった”他者」と同様にして，

　　　 $m{\Large\frac{d^{2}x_{np}}{dt^{2}}}$t$+c{\Large\frac{dx_{np}}{dt}}$t$+kx_{np}$t$=S_{n}\sin \Omega _{n}t$ 　　　(37)

　　　 $x_{np}$t$=$ $\Large\frac{\frac{1}{m}\{ \omega _{0}^{2}-$\frac{2n\pi}{T}$^{2}\} S_{n}}{\{ \omega _{0}^{2}-$\frac{2n\pi}{T}$^{2}\} ^{2}+\{ 2\zeta \omega _{0}$\frac{2n\pi}{T}$\} ^{2}}$ $\;\sin {\Large\frac{2n\pi }{T}}t$
　　　　　　　　 $+\Large\frac{\frac{1}{m}\{-2\zeta\omega_0$\frac{2n\pi }{T}$\} S_{n}}{\{\omega_0^{2}-$\frac{2n\pi }{T}$^{2}\}^{2}+\{2\zeta\omega_0$\frac{2n\pi }{T}$\} ^{2}}$ $\;\cos {\Large\frac{2n\pi}{T}}t$ ．　　(38)

和田先生

ここで，少し，式を見やすくしましょう．同じく，やってみてください．

こっしー君

はい．

　　　 ${\Large\frac{\frac{2n\pi }{T}}{\omega _{0}}}=\gamma_{n}$ 　　　(39)

とおくと，

　　　 ${\Large\frac{2n\pi }{T}}=\gamma _{n}\omega_{0}$ ．　　(40)

よって，式(38)は，式(29)，式(40)より，

　　　 $x_{np}$t$={\Large\frac{S_{n}}{m\omega _{0}^{2}}}\;{\Large\frac{1-\gamma _{n}^{2}}{$1-\gamma _{n}^{2}$^{2}+$2\zeta \gamma _{n}$^{2}}}\sin \gamma _{n}\omega _{0}t$
　　　　　　　　　　 $+{\Large\frac{S_{n}}{m\omega _{0}^{2}}}\;{\Large\frac{-2\zeta \gamma _{n}}{$1-\gamma _{n}^{2}$^{2}+$2\zeta \gamma _{n}$^{2}}}\cos \gamma _{n}\omega _{0}t$
　　　　　　　　 $=-{\Large\frac{2F_{0}}{\pi m\omega _{0}^{2}}}\;{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}\;{\Large\frac{1}{$1-\gamma _{n}^{2}$^{2}+$2\zeta \gamma _{n}$^{2}}}$
　　　　　　　　　　　 $\cdot\left\{$1-\gamma _{n}^{2}$\sin \gamma _{n}\omega _{0}t-2\zeta \gamma _{n}\cos \gamma _{n}\omega _{0}t\right\}$ 　　　(41)

三角関数の合成を行うと，

　　　 $x_{np}$t$=-{\Large\frac{2F_{0}}{\pi m\omega _{0}^{2}}}{\Large\frac{\cos n\pi }{n}}$
　　　　　　　　 ${\Large\frac{1}{\sqrt{$1-\gamma _{n}^{2}$^{2}+$2\zeta \gamma _{n}$^{2}}}}\sin $\gamma _{n}\omega _{0}t+\beta _{n}$$ 　　　(42)

となります．ここで，

　　　 $\tan \beta _{n}=-{\Large\frac{2\zeta \gamma _{n}}{1-\gamma _{n}^{2}}}$ 　　　(43)

です．ただし， $-\pi \leq\beta _{n}\leq 0$ です．

和田先生

さあ，一般解が出ますね．
次回は，一般解を求めるところからにしましょう．

こっしー君

わかりました．
次回もよろしくお願いします．