【和田先生のなるほどゼミナール4】振動現象をつむぐ，中学校の数学4

判別式が意味するもの！？

和田先生

今回と次回で「二次方程式」の判別式が意味するものについて考えていきます．

まず，二次方程式のところで注目した判別式 $D$ を考えます．判別式によって，現れる振動の性質が区別できます．機械的な振動現象は，中学校で学習する二次方程式で説明できるというわけです．すごいですね．
こっしー君，お願いします．

こっしー君

はい，では，進めます．

(Ⅰ) $D\gt0$ のとき

$m$ ， $c$ ， $k$ が正であることから， $\zeta$ は式(5)より正または0なので

$\zeta\gt1$ ．

このとき，一般解は，

$x(t)=Ae^{\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}t}+Be^{\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}t}$ (10)

$=e^{-\zeta\omega_{0}t}\left\lbrace\tilde{A}\cosh\sqrt{\zeta^{2}-1}\omega_{0}t+\tilde{B}\sinh\sqrt{\zeta^{2}-1}\omega_{0}t\right\rbrace$ . (11)

ここで，初期条件を用いると，

$x_{0}=A+B$ ，

$v_{0}=A$ $\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}+$ $B$ $\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}$ (12)

となるので，特殊解は，

$x(t)=\frac{x_{0}}{2}e^{-\zeta\omega_{0}t}\left\lbrace\left(1+\frac{\zeta+\frac{v_{0}}{\omega_{0}x_{0}}}{\sqrt{\zeta^{2}-1}}\right)e^{\sqrt{\zeta^{2}-1}\omega_{0}t}$

$+\left(1-\frac{\zeta+\frac{v_{0}}{\omega_{0}x_{0}}}{\sqrt{\zeta^{2}-1}}\right)e^{-\sqrt{\zeta^{2}-1}\omega_{0}t$ $\rbrace$ (13)

または，
$x(t)=x_{0}e^{-\zeta\omega_{0}t}\left\lbrace \cosh \sqrt{\zeta^{2}-1}\omega_{0}t+\frac{\zeta+\frac{v_{0}}{\omega_{0}x_{0}}}{\sqrt{\zeta^{2}-1}}\sinh \sqrt{\zeta^{2}-1}\omega_{0}t\right\rbrace$