【和田先生のなるほどゼミナール24】わたしたちの宇宙のみじめな最期13

ケプラーの法則

和田先生

こんにちは．和田です．
こっしー君，さっそくですが，前回の宿題，

【問題】
「ケプラーの法則」とはどんなものだったでしょうか．

の解説をお願いします．

こっしー君

はい．

ケプラーの法則とは，1609年（第1法則，第2法則）および，1619年（第3法則）にヨハネス・ケプラーが発表した、惑星の運動に関する3つの法則です.

【ケプラーの法則】

第1法則
惑星は，太陽を1つの焦点とする楕円軌道を描く．

ニュートン力学において，中心力により引きあう2体問題の解が，束縛運動であるなら，楕円運動となることが導けます．

第2法則
惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に描く面積は一定である．

これは，ニュートン力学における角運動量保存の法則です．

第3法則
惑星の公転周期の2乗は軌道の長半径の3乗に比例する．

これは，ニュートン力学で導くことができます．

和田先生

ありがとうございます．
では，第3法則を，ニュートン力学を使って導いてみましょう．

ニュートン力学を使って，ケプラーの第3法則を導く

和田先生

楕円軌道の長半径と，惑星と太陽の平均距離は等しいので，下図のように，楕円運動を円運動に近似して考えます．

例によって大体で考えてみてください．

こっしー君

はい．図のように，太陽の周りを地球が公転しているとします．

太陽の質量を $M$ ，地球の質量を $m$ ，太陽から地球までの距離を $R$ ，地球の公転の接線速度 $v$ を，公転周期を $T$ ，万有引力定数（重力定数）を $G$ とすると，地球が公転運動できるので，万有引力（重力） $Fg$ と遠心力 $Fc$ は釣り合っています．

$F_{g}=G\frac{Mm}{R^{2}}$ ,　　　(64)

$F_{c}=m\frac{v^{2}}{R}$ .　　　(65)

和田先生

正確に言うと，地球は太陽の周りを周回しているのではなくて，太陽と地球の重心の周りを周回しています．

しかし，地球の質量は太陽の質量に比べて無視できるほどに小さいので，ほぼ，太陽の周りを周回しているといえますね．

こっしー君

はい．

よって，

$G\frac{Mm}{R^{2}}=m\frac{v^{2}}{R}$ ,　　　(66)

$G\frac{M}{R}=v^{2$ .　　　(67)

公転周期 $T$ は，接線速度 $v$ で軌道を一周する時間なので，

$v=\frac{2\pi R}{T}$ .　　　(68)

代入して，

$G\frac{M}{R}=(\frac{2\pi R}{T})^{2}$ .　　　(69)

よって，

$\frac{R^{3}}{T^{2}}=\frac{GM}{4\pi ^{2}}$ .　　　(70)

このとき， $M$ は太陽の質量なので，太陽系すべての惑星に適用できる式になります．

よって，太陽系では，右辺は定数となるので， $C_{s}$ を定数とすると,

$\frac{R^{3}}{T^{2}}=C_{s}$ ,　　　(71)

となって，ケプラーの第3法則が導けました．

天体の質量を求める

和田先生

質量 $M$ を知るには，式(69)を用います．

三角測量などで太陽との距離を求めると，この式で未知なのは $M$ だけですので，求められることになります．

すなわち

$M=\frac{4\pi^{2}}{G}\cdot\frac{R^{3}}{T^{2}}$ 　　　(72)

と求められます．

こっしー君，太陽から地球までの距離で，太陽の質量を計算してみてください．

こっしー君

はい．
太陽から地球までの平均の距離 $R_{e}$ は，

$R_{e}\sim 1.5\times 10^{11}$ $[\rm m]$ ,　　　(73)

公転周期が平均して365日なので

$T_{e}=365\times 24\times 3600\sim 3.2\times 10^{7}$ $[\rm s]$ ,　　　(74)

万有引力定数 $G$ は，

$G\sim 6.7\times 10^{-11}$ $[\rm m^{3}$ ${\rm kg}^{-1}$ ${\rm s}^{-2}]$ 　　　(75)

なので，代入すると，太陽の質量 $M=M_{s}$ は，

$M_{s}=\frac{4\pi ^{2}}{6.7\times 10^{-11}}\cdot \frac{(1.5\times 10^{11})^{3}}{(3.2\times 10^{7})^{2}}\sim 1.9\times 10^{30}$ $[\rm kg] \sim 2.0\times 10^{30}$ $[\rm kg]$

(76)

と求められました．

和田先生

ありがとうございます．

地球の周りを公転する月を用いると，同様に地球の質量 $M_{e}$ が

$M_{e}=\frac{4\pi ^{2}}{6.7\times 10^{-11}}\cdot \frac{(3.8\times 10^{8})^{3}}{(2.3\times 10^{6})^{2}}\sim 6.1\times 10^{24}$ $[\rm kg]$ $\sim 6.0\times 10^{24} [\rm kg]$

(77)

と求められます．

太陽は地球の約30万倍の質量があることになります．

太陽系の惑星は，一番質量のある木星でも，太陽の質量の1/1000しかないので，ほとんど無視できます．

よって，各惑星の公転の接線方向の速度の2乗 ${v}^{2}$ は，式(67)より下図のように，公転半径に反比例することになります．

和田先生

太陽系の惑星のおもな物理量を下に示しました．
地球の各物理量を1としたときの値を示しています．
例によって，大体の数字です．

惑星のおもな物理量
	平均半径 $[R_{E}]$	体積 $[V_{E}]$	質量 $[M_{E}]$	表面重力 $[G]$
太陽	1.1×10²	1.3×10⁶	3.3×10⁵	2.8×10
木星	1.1×10	1.3×10³	3.2×10²	2.5
土星	9.4	7.6×10²	9.5×10	1.1
天王星	4.0	6.3×10	1.5×10	9.0×10^－1
海王星	3.9	5.8×10	1.7×10	1.1
地球	1.0	1.0	1.0	1.0
金星	9.5×10^-1	8.6×10^-1	8.2×10^-1	9.0×10^-1
火星	5.3×10^-1	1.5×10^-1	1.1×10^-1	3.8×10^-1
水星	3.8×10^-1	5.6×10^-2	5.5×10^-2	3.8×10^-1