【和田先生のなるほどゼミナール3】振動現象をつむぐ，中学校の数学3

微分方程式を解く！？：一般解

和田先生

今回は，前回導いた微分方程式を解いてみましょう．
少し数式が出てきますが，計算過程をとばして結果だけを追いかけても話はつながります．
こっしー君，よろしくお願いいたします．

こっしー君

わかりました．
$\lambda$ を未知数， $e$ を自然対数の底として，前回導いた微分方程式

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt}+\omega_0^{2}x=0$ (4)

の解を仮に，

$x(t)=e^{\lambda t}$

としてみると，

$\frac{dx}{dt}(t)=\lambda e^{\lambda t}$ , $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}(t)=\lambda^{2}e^{\lambda t}$ ．

これらを，式(4)に代入すると，

$(\lambda^{2}+2\zeta\omega_0\lambda+\omega_0^{2})e^{\lambda t}=0$ ．

$t$ が有限の時は， $e^{\lambda t}\ne 0$ なので，割ることができて，

$\lambda^{2}+2\zeta\omega_0\lambda+\omega_0^{2}=0$ (6)

となります．

ここに，「振動現象をつむぐ,中学校の数学1」に出てきた，「二次方程式」が出てきました．

未知数は $\lambda$ です．式(6)は解けますので，式(4)も解けることになります．

和田先生

そうですね．
では解いていってください．

こっしー君

式(6)より，

$\lambda=\left(-\zeta\pm\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_0$ ．

よって，基本解候補は，

$x(t)=e^{\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_0t}$ ，または， $x(t)=e^{\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_0t$ (7)

となります．

線形微分方程式の一般解：微分方程式にも二次方程式の香りが？

和田先生

2階斉次線形常微分方程式の場合は，解空間の基底（基本解）は2つ必要です．少し二次方程式の香りがしますが．

ところが，式(7)で，

$\zeta=1$

とすると，左の基本解候補と右の基本解候補が等しくなってしまうので，基本解候補が一つしか求められません．

これは，二次方程式(6)で，

$\lambda^{2}+2\omega_0\lambda+\omega_0^{2}=0$

$(\lambda+\omega_0)^{2}=0$

$\lambda=-\omega_{0}$

となり， $D=0$ の重なった一つの実数解に対応しています．
どうしましょうか．

$\zeta=1$ のときの一般解

こっしー君

まずこの基本解候補

$x(t)=e^{-\omega_{0}t}$

が式(4)を満たしていることを示します．

$\frac{dx}{dt}(t)=-\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}(t)=\omega_{0}^{2}e^{-\omega_{0}t}$

より，

式(4)の左辺は，

$\omega_{0}^{2}e^{-\omega_{0}t}+2\omega_{0}(-\omega_{0}e^{-\omega_{0}t})+\omega_{0}^{2}(e^{-\omega_{0}t})=0$

となり，満たします．

これに対して，もう一つの基本解候補を

$x(t)=te^{-\omega_{0}t}$

とします．

これらは，互いに定数倍で表現できません．

この基本解候補が，式(4)を満たせばもう一つの基本解になれます．

$\frac{dx}{dt}(t)=e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}(t)=-\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}+\omega_{0}^{2}te^{-\omega_{0}t}$

より，式(4)の左辺は

$-\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}+\omega_{0}^{2}te^{-\omega_{0}t}$

$+2\omega_{0}(e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}te^{-\omega_{0}t})+\omega_{0}^{2}(te^{-\omega_{0}t})=0$

となりますので基本解になれました．

式(4)は斉次線形常微分方程式なので， $\zeta=1$ のときは，

$x(t)=Ae^{-\omega_{0}t}+Bt e^{-\omega_{0}t}$ (8)

が解となります．

また， $A$ および $B$ は初期値より決定される定数です．

初期値を含めた解（特殊解）はのちほど，書いてみます．

$\zeta\neq1$ のときの一般解

和田先生

では，次に，

$\zeta\neq1$

の場合について調べてください．

こっしー君

式(7)左の基本解候補を用いて確認してみます．

$\frac{dx}{dt}(t)=\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}e^{\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}t}$ .

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}(t)=\left\lbrace\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}\right\rbrace ^{2}e^{\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}t}$ .

式(4)の左辺に代入して，

$\lbrace(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}\rbrace^{2}e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}t}$

$+2\zeta\omega_{0}(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}t}$

$+\omega_{0}^{2}e^{\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}t}$

$=[\lbrace(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}\rbrace ^{2}+2\zeta\omega_{0}(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}+\omega_{0}^{2}] ^{2}e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}t}$

$=\lbrace(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})^{2}+2\zeta(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})+1\rbrace\omega_0^{2}e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}t}$

$=\lbrace (\zeta^{2}-2\zeta\sqrt{\zeta^{2}-1}+\zeta^{2}-1)+(-2\zeta^{2}+2\zeta\sqrt{\zeta^{2}-1})+1\rbrace \omega_{0}^{2}e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1})\omega_{0}t}$