【和田先生のなるほどゼミナール26】わたしたちの宇宙のみじめな最期15

銀河団についてエネルギーで考える

和田先生

こんにちは．和田です．
今回は，銀河団について，エネルギーで考えてみます．

こっしー君

よろしくお願いします．

和田先生

式(63) をもう一度描きます．

銀河団全体の質量を $M$ ，注目している銀河の質量を $m$ ，この銀河の移動速度を $v$ ，銀河団の半径を $r$ ，重力定数を $G$ とすると，注目している銀河の力学的エネルギーは，

$E=E_{k}+E_{p}={\Large\frac{1}{2}}mv^{2}-{\Large\frac{GmM}{r}}$ ．　　　(78)

変形させて，

$2E=mv^{2}-{\Large\frac{2GmM}{r}}$ ， $\;\;\;\;\;\;m\;>\;0$ 　　　(79)

${\Large\frac{2E}{m}}=v^{2}-{\Large\frac{2GM}{r}}$ 　　　(80)

となります．

ここで，ハッブルの法則：式(29) を用います．ここでは，式(29) の $D$ の代わりに， $r$ を用いて，

$v^{2}=H_{0}^{2}\;r^{2}$ ．　　　(81)

これを，式(80) に代入すると，

${\Large\frac{2E}{m}}=H_{0}^{2}\;r^{2}-{\Large\frac{2GM}{r}}$ ．　　　(82)

ここで，銀河団を球で近似し，半径 $r$ ，体積 $V$ ，密度 $\rho$ が一定と考えると，銀河団の質量は，

$M=\rho V={\Large\frac{4}{3}}\pi r^{3}\rho$ 　　　(83)

となります．これを用いて $M$ を消去すると，式(82) は，

${\Large\frac{2E}{m}}=H_{0}^{2}\;r^{2}-{\Large\frac{2G}{r}\;\frac{4}{3}}\pi r^{3}\rho =H_{0}^{2}\;r^{2}-{\Large\frac{8\pi G}{3}}\rho r^{2}$ ．　　　(84)

$r$ を左辺にもってきて，

${\Large\frac{2E}{mr^{2}}}=H_{0}^{2}-{\Large\frac{8\pi G}{3}}\rho$ ．　　　(85)

ここで，

${\Large\frac{2E}{m}}=-\kappa$ 　　　(86)

とおくと，式(85) は，

${\Large\frac{-\kappa }{r^{2}}}=H_{0}^{2}-{\Large\frac{8\pi G}{3}}\rho$ 　　　(87)

となり，これは重力方程式を表しています．

$\rho$ に宇宙の平均密度を用いて，同様の計算を行うとき， $\kappa$ は宇宙の曲率と呼ばれます．式(86) において，

1． $\kappa\; <$ $\;0$ ：「開いた宇宙」と呼んでいます．このとき，式(86) より， $E\;$ $>$ $\;0$ となるので運動エネルギーが重力の位置エネルギーに勝っており，いつまでも宇宙は膨張することになります．

2． $\kappa\; >$ $\;0$ ：「閉じた宇宙」と呼んでいます．このとき，式(86) より， $E\;$ $<$ $\;0$ となるので重力の位置エネルギーが運動エネルギーに勝っており，いつか宇宙は収縮することになります．

3． $\kappa\; =$ $\;0$ ：「平坦な宇宙」と呼んでいます．このとき，式(86) より， $E\;$ $=$ $\;0$ となるので運動エネルギーと重力の位置エネルギーが等しくなっており，宇宙は最も遅い膨張をすることになります．

空間（3次元）の話は，イメージするのが少し難しいので，平面（2次元）で考えてみます．簡単な方から説明します．

まず，「3．」です．この場合は，「平面」が相当します．平面上の直線は，ユークリッド幾何学でいうところの，「直線」になります．この平面上では，三角形の内角の和は180°になります．下の図は∠ $A$ が直角（ =∠ $R$ ）の直角三角形です．
平面上の三角形
次に，「2．」です．この場合は，「球面」が相当します．球面上の直線は，「円」になります．円は閉じていますよね．球面上では，三角形の内角の和は180°より大きくなります．下の図は∠ $A$ が直角より大きくなります．
球面上の三角形
最後は，「1．」です．この場合は，「双曲面」が相当します．双曲面上の直線は，「双曲線」になります．双曲線は開いていますよね．双曲面上では，三角形の内角の和は180°より小さくなります．∠ $A$ が直角より小さくなります．
双曲面上の三角形
詳しくは，非ユークリッド幾何学の成書を参考にしてください．
この， $\kappa$ を調べることで，宇宙がどの状態であるかがわかります．