【和田先生のなるほどゼミナール23】わたしたちの宇宙のみじめな最期12

こんにちは，和田です．
前回の宿題，

【問題】
力学を考える場合，大きく分けて，2種類のエネルギーを用います．
その2つとは何でしょう？

の解答はわかりましたか？

はい．
1つは運動エネルギーで，もう1つは位置エネルギーです．

そのとおり．
今回は，この2種類のエネルギーについて考えたいと思います

はい，よろしくお願いします．

まず，運動エネルギーからです．

エネルギー の変化は，仕事 となって現れます．

状態1から状態2に変化するとき， の変化分は，

　　　(57)

となります．

ここで， は質点の位置または変位です．

式(47)より，運動エネルギーは，

.　　　(58)

となります．

次に，位置エネルギーです．

重力場で考えると，この重力に逆らって移動させるときに，
移動させる質量を ，着目している重力場を作り出している質量を ，
2つの質量の重心間の距離を ，重力定数を としますと，

.　　　(59)

よって，

.　　　(60)

ここで，ちょっと注意が必要です．

何でしょうか？

それは，基準点の問題です．

運動エネルギーは，状態1を基準状態とすれば （ で運動する座標系を用いれば） ，任意の状態で，

　　　(61)

と考えます．

位置エネルギーは無限遠を基準とし，無限遠でのエネルギーを0とします．

無限遠が状態1になりますので，

　　　(62)

となります．

これらを合わせて，

　　　(63)

と表します．

この が正なのか，0なのか，負なのかを考えてみます．

この式は地球の重力場でも，銀河同士の場合でも適用できますね．

そうですね．

では，この式を使って，宇宙が膨張しているのかを考えてみます．

下の図で考えます．

は銀河を表します．

我々の天の川銀河を中心（原点 ）として，半径 の球内にある銀河すべての質量を とします（グレーの球の中にある銀河団の質量）．

次に，球上のある銀河の質量を とします．
これは，グレーの球が地球で，地表面上にあるものを考えるときと同様になります．

一気に銀河団にステップを上げる前に，まず太陽系の惑星で考えてみます．

はい．

以下の図にあるように，太陽を中心とした惑星の軌道を考えます．
軌道は楕円を考えます（実際はほとんど円と考えてもいいのですが．）．
知りたいのは，太陽の質量です．

このとき，ケプラーの法則を使います．
ここで，問題です．

【問題】
「ケプラーの法則」とはどんなものだったでしょうか．

今回はこの辺で．
こっしー君，次回解説をお願いします，

はい，法則についてまとめておきたいと思います．